引力动力学的有效场论表述

阿祯

A physical understanding is a completely un-mathematical, imprecise, and inexact thing, but absolutely necessary for a physicist.
物理理解是非数学的、不精确的且不确切的事物，但其对物理学家而言是必须的。
——理查德·费曼

利用量子场论研究经典动力学

路径积分

在经典力学中，系统的动力学演化行为主要依托作用量原理刻画。而在量子场论，作用量是路径积分的核心构成，我们把路径积分定义为：
Z[J] \equiv \int D \phi e^{i S[\phi, J]}
此处S[\phi,J]代表一系列与源项J(x)耦合的场\phi(x)的作用量。对于宏观的、经典的物体，指数上的因子有S[\phi,J]\gg1，因而导致路径积分极度振荡。在此时，路径积分主要有在其鞍点处的行为所刻画，
Z[J] \simeq e^{i S\left[\phi=\phi_{J}, J\right]}
其中\phi_J (x)为最小作用量原理对应的经典解，即：
\left.\frac{\delta S[\phi, J]}{\delta \phi(x)}\right|_{\phi \rightarrow \phi_{J}}=0.
此处我们引入
W[J] \equiv-i \log Z[J].
注意在经典极限下有W[J] \rightarrow S\left[\phi_{J}, J\right]，故其也被称为有效作用量。

为了简化讨论，我们此处讨论无质量实标量场的情况，其作用量为
S[\phi, J]=\int d^{4} x\left(-\frac{1}{2} \phi(x) \partial^{2} \phi(x)-V(\phi)+J(x) \phi(x)\right) .
如有若进一步，扔掉自相互作用，也即V(\phi)=0，则
\phi_{J}(x)=\phi_{J=0}(x)+i \int d^{4} y \Delta_{\mathrm{F}}(x-y) J(y) .
其中\phi_{J=0}(x)为Klein-Gorden方程的无源解。其中出现的“传播子”，也即Green函数为：
\Delta_{\mathrm{F}}(x-y) \equiv \int_{\boldsymbol{p}} \int_{p_{0}} \frac{i}{p_{0}^{2}-\boldsymbol{p}^{2}+i \epsilon} e^{-i p_{0}\left(x_{0}-y_{0}\right)} e^{i \boldsymbol{p} \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} .
i\epsilon项为对边界处作用量的选取，其也被称为Feynman's prescription。注意其只有动量“在壳”的部分会有物理贡献，之后我们会讨论这点。
因而，我们可以得到经典极限下的作用量为：
S\left[\phi=\phi_{J}, J\right] \rightarrow \frac{i}{2} \int d^{4} x d^{4} y J(x) \Delta_{\mathrm{F}}(x-y) J(y)=W[J].
之后我们会看如何把非线性效应包括其中。泛函W[J]是整个经典有效场论框架里最重要的量。

即使我们使用路径积分来定义Z[J]，后者只是通过将经典场方程的解重新带到作用量中得到的。不过尽管如此，保留泛函积分的形式及其各级矩，令其作为构建微扰展开的一种好用的手段，在之后的处理上会很有用。更具体的，利用下列恒等式：
\int d x_{1} \cdots d x_{n} \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i, j} x_{i} A_{i j} x_{j}+\sum_{i} J_{i} x_{i}\right)=\frac{(2 \pi)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} A}} \exp \left(\frac{1}{2} \sum_{i, j} J_{i}\left(A^{-1}\right)_{i j} J_{j}\right) ,
只需要将里面出现的矩阵A视为4维Laplace算符，我们可以轻松得到之前推导的结果（阿祯的注记：此处Laplacian的逆代表的是4维Laplace方程的预解式。由于实际操作中会对4维Minkovski时空做Wick旋转，故而其实际对应的正是四维Klein-Gorden方程，也即4维标量波动方程的格林函数）。事实上，我们得到的所谓的“经典极限”并不只是极限下成立，而是严格正确的结论。而当具有自相互作用后，这一结论就只对经典极限成立了。

注意到我们可以利用泛函导数来得到传播子（并附加归一化条件Z[0]=1）
\Delta_{\mathrm{F}}(x-y)=-\left.i \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(x) \delta J(y)}\right|_{J=0}=\left.(-i)^{2} \frac{\delta^{2} Z[J]}{\delta J(x) \delta J(y)}\right|_{J=0} .
这一点在之后建立考虑非线性项后的微扰展开是非常有帮助的。

阿祯

束缚势

静态源项

我们首先考虑静态点粒子源的情况，也即
J(\boldsymbol{x})=J_{1}(\boldsymbol{x})+J_{2}(\boldsymbol{x}) \equiv \frac{1}{M_{\phi}}\left[m_{1} \delta^{3}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{1}\right)+m_{2} \delta^{3}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{2}\right)\right] ,
其中M_{\phi}是点源与标量场耦合程度强弱有关的质量标度。对于离壳的场构形，我们可以忽略掉传播子分母处引入的虚部。故而，有效作用量的形式为：
W[J]=\left(\int d t\right) \frac{1}{2} \int d^{3} \boldsymbol{x} d^{3} \boldsymbol{x}^{\prime} J(\boldsymbol{x}) J\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right) \int_{\boldsymbol{p}, p_{0}} \frac{-1}{p_{0}^{2}-\boldsymbol{p}^{2}} \delta\left(p_{0}\right) e^{i \boldsymbol{p} \cdot\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right)} .
我们利用有效作用量W[J]定义束缚势V[J]：
W[J] \rightarrow-\int_{t_{\text {in }}}^{t_{\text {out }}} d t V[J]
并要求t_{\text {out }(\text { in })} \rightarrow+\infty(-\infty)。因此，利用下列恒等式：
\int_{\boldsymbol{p}} \frac{1}{\boldsymbol{p}^{2}} e^{-i \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}=\frac{1}{4 \pi r}
并将静态源项代入，我们就得到了：
W[J]=\left(\int d t\right) \frac{m_{1} m_{2}}{4 \pi M_{\phi}^{2}} \frac{1}{r} \rightarrow V[J]=-\frac{m_{1} m_{2}}{4 \pi M_{\phi}^{2}} \frac{1}{r} ,
其中\boldsymbol{r} \equiv\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}。我们发现V[J]这一类库伦势代表着点粒子之间通过无质量标量建立相互作用所具有的相互作用的势。除此之外，我们还能发现“自能项“的贡献。我们如若将两个源项放在同一处就会自然出现：
\int d^{3} \boldsymbol{x} d^{3} \boldsymbol{y} \delta^{3}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{1}(t)\right) \Delta_{\mathrm{F}}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}, t) \delta^{3}\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}_{1}(t)\right)=\Delta_{\mathrm{F}}(0, t) \propto \int_{\boldsymbol{p}} \frac{1}{\boldsymbol{p}^{2}} .
我们对上式积分做一个紫外（UV）截断，会发现这一贡献可以被我们吸收进之前出现的代表耦合强度的质量标度里。这种做法在量子场论里常被称为添加一个”counter-term“。当然，在量子场论里，除了利用截断，也可以利用著名的 't Hooft 维数正规化方案将发散剪除。

阿祯

时间依赖的源项

我们直接代入随时间演化的点粒子的源项：
J(t, \boldsymbol{x})=\sum_{a=1,2} \frac{m_{a}}{M_{\phi}} \delta^{3}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{a}(t)\right).
我们可以做一个准瞬时相互作用的近似，也即要求相互作用的传播速度（此处为光速，在Planck单位制下取1）比粒子运动速度要快很多，即\left|\boldsymbol{v}_{a}\right| \equiv\left|\dot{\boldsymbol{x}}_{a}\right| \ll 1。
由此，我们可以对离壳的Green函数以p_{0} /|\boldsymbol{p}|为变量做幂级数展开：
\frac{1}{p_{0}^{2}-\boldsymbol{p}^{2}} \simeq-\frac{1}{\boldsymbol{p}^{2}}\left(1+\frac{p_{0}^{2}}{\boldsymbol{p}^{2}}+\cdots\right) .
这一展开可以用下图作为理解：

其中虚线代表静态传播子，其四动量的时间分量为0.后续的图像中出现的×号代表这一传播子与p_{0}^{2} / \boldsymbol{p}^{2}相乘。
将展开后的传播子带入后，有效作用量的领头阶对应于：
W_{(0)}[J]=\frac{m_{1} m_{2}}{4 \pi M_{\phi}^{2}} \int \frac{d t}{|\boldsymbol{r}(t)|} ,
这与我们的假设一致。其一阶修正，也即v^2阶修正为：
W_{\left(v^{2}\right)}[J]=\frac{m_{1} m_{2}}{M_{\phi}^{2}} \int d t d t^{\prime} \int_{\boldsymbol{p}, p_{0}} \frac{p_{0}^{2}}{\boldsymbol{p}^{4}} e^{-i p_{0}\left(t-t^{\prime}\right)} e^{i \boldsymbol{p} \cdot\left(\boldsymbol{x}_{1}(t)-\boldsymbol{x}_{2}\left(t^{\prime}\right)\right)}=\frac{m_{1} m_{2}}{M_{\phi}^{2}} \int d t \boldsymbol{v}_{1}^{i}(t) \boldsymbol{v}_{2}^{j}(t) \int_{\boldsymbol{p}} \frac{\boldsymbol{p}^{i} \boldsymbol{p}^{j}}{\boldsymbol{p}^{4}} e^{i \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}(t)},
由此读出此系统的束缚势为：
V_{\left(v^{2}\right)}[J]=\frac{m_{1} m_{2}}{8 \pi M_{\phi}^{2}} \frac{1}{|\boldsymbol{r}(t)|^{3}}\left[|\boldsymbol{r}(t)|^{2}\left(\boldsymbol{v}_{1}(t) \cdot \boldsymbol{v}_{2}(t)\right)-\left(\boldsymbol{v}_{1}(t) \cdot \boldsymbol{r}(t)\right)\left(\boldsymbol{v}_{2}(t) \cdot \boldsymbol{r}(t)\right)\right],
此处我们以用下列恒等式做了简化：
\int_{\boldsymbol{p}} \frac{\boldsymbol{p}^{i} \boldsymbol{p}^{j}}{\boldsymbol{p}^{4}} e^{-i \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}=\frac{1}{8 \pi r^{3}}\left(r^{2} \delta_{i j}-\boldsymbol{r}^{i} \boldsymbol{r}^{j}\right).
（插句话：这个恒等式很有用。）

更高阶修正可以以此类推。需要强调的是，由于这里的展开是泰勒展开，其出现在路径积分之内，故展开的有效性依赖于“不同展开的有效区间”，我们会在之后讨论。

阿祯

非线性性的引入

一旦引入自相互作用，场论技术会不可避免地引入微扰论，或者是数值技术。此处我们已\lambda\phi^3型相互作用为例。

依据我们对量子场论的知识，我们很清楚，这类相互作用会引发场论在红外区（低能区，大尺度）上的发散。但无论如何，我们先讨论这种情况及其正规化方案。我们假设这一自相互作用很微弱。此时场方程会变为：
\partial^{2} \phi(x)=J(x)-3 \lambda \phi^{2}(x) .
接下来我们希望得到上述解对\lambda的展开，假设形式为：
\phi_{J}(x)=\phi_{J}^{\lambda=0}(x)+\phi_{J}^{\lambda}(x)+\cdots+\phi_{J}^{\lambda^{n}}(x)+\cdots .
为方便讨论，我们假设源项是静态的。因而，对\lambda的一阶水平，我们有：
\partial^{2} \phi_{J}^{\lambda}(\boldsymbol{x})=J_{\lambda}(\boldsymbol{x}), \text { with } J_{\lambda}(\boldsymbol{x}) \equiv-3 \lambda\left(\phi_{J}^{\lambda=0}\right)^{2}(\boldsymbol{x}).
利用格林函数方法求解这一方程，可以得到：
\phi_{J}^{\lambda}(\boldsymbol{x})=3 i \lambda \int d^{3} \boldsymbol{y} d^{3} \boldsymbol{z} d^{3} \boldsymbol{w} \Delta_{\mathrm{F}}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \Delta_{\mathrm{F}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}) \Delta_{\mathrm{F}}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{w}) J(\boldsymbol{z}) J(\boldsymbol{w}).
例如，我们从其中挑出源于粒子1的贡献：
\phi_{J}^{\lambda}(\boldsymbol{k})=-3 \lambda \frac{m_{1}^{2}}{M_{\phi}^{2}} \frac{e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}_{1}}}{\boldsymbol{k}^{2}} \int_{\boldsymbol{q}} \frac{1}{(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{q})^{2} \boldsymbol{q}^{2}}+\cdots=-3 \lambda \frac{m_{1}^{2}}{8 M_{\phi}^{2}} \frac{e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}_{1}}}{|\boldsymbol{k}|^{3}}+\cdots,
此处我们已经使用
\int_{\boldsymbol{q}} \frac{1}{\boldsymbol{q}^{2}(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{q})^{2}}=\frac{1}{8|\boldsymbol{k}|}.
为计算有效作用量W_{(\lambda)}[J]，我们将\phi_{J}^{\lambda}带回作用量里。例如，其中场动能的部分会变为：
-\frac{1}{2} \phi_{J}^{\lambda} \partial^{2} \phi_{J}^{\lambda=0} \rightarrow-\frac{1}{2} J \phi_{J}^{\lambda},
发现其与源项出现在一起。利用这种手段，我们可以得到最终的束缚势为：
V_{(\lambda)}[J]=-\frac{1}{2} \int d^{3} \boldsymbol{x} J(\boldsymbol{x}) \phi_{J}^{\lambda}(\boldsymbol{x})+\cdots=3 \lambda \frac{m_{1}^{2} m_{2}}{64 \pi^{2} M_{\phi}^{3}} \log (\mu r)+1 \leftrightarrow 2 \cdots.
这里\mu是作为红外区的正规化因子出现。这一对数势会产生一个被正规化为1/r的势函数。我们可以继续这一过程展开至高阶，也可以讨论非静态的情况。但要注意的是，当各阶的微扰贡献相加后，这一总级数仍会发散。详情可以参考原始文献。