A physical understanding is a completely un-mathematical, imprecise, and inexact thing, but absolutely necessary for a physicist.
物理理解是非数学的、不精确的且不确切的事物，但其对物理学家而言是必须的。
——理查德·费曼

利用量子场论研究经典动力学

路径积分

在经典力学中，系统的动力学演化行为主要依托作用量原理刻画。而在量子场论，作用量是路径积分的核心构成，我们把路径积分定义为：
Z[J] \equiv \int D \phi e^{i S[\phi, J]}
此处S[\phi,J]代表一系列与源项J(x)耦合的场\phi(x)的作用量。对于宏观的、经典的物体，指数上的因子有S[\phi,J]\gg1，因而导致路径积分极度振荡。在此时，路径积分主要有在其鞍点处的行为所刻画，
Z[J] \simeq e^{i S\left[\phi=\phi_{J}, J\right]}
其中\phi_J (x)为最小作用量原理对应的经典解，即：
\left.\frac{\delta S[\phi, J]}{\delta \phi(x)}\right|_{\phi \rightarrow \phi_{J}}=0.
此处我们引入
W[J] \equiv-i \log Z[J].
注意在经典极限下有W[J] \rightarrow S\left[\phi_{J}, J\right]，故其也被称为有效作用量。

为了简化讨论，我们此处讨论无质量实标量场的情况，其作用量为
S[\phi, J]=\int d^{4} x\left(-\frac{1}{2} \phi(x) \partial^{2} \phi(x)-V(\phi)+J(x) \phi(x)\right) .
如有若进一步，扔掉自相互作用，也即V(\phi)=0，则
\phi_{J}(x)=\phi_{J=0}(x)+i \int d^{4} y \Delta_{\mathrm{F}}(x-y) J(y) .
其中\phi_{J=0}(x)为Klein-Gorden方程的无源解。其中出现的“传播子”，也即Green函数为：
\Delta_{\mathrm{F}}(x-y) \equiv \int_{\boldsymbol{p}} \int_{p_{0}} \frac{i}{p_{0}^{2}-\boldsymbol{p}^{2}+i \epsilon} e^{-i p_{0}\left(x_{0}-y_{0}\right)} e^{i \boldsymbol{p} \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})} .
i\epsilon项为对边界处作用量的选取，其也被称为Feynman's prescription。注意其只有动量“在壳”的部分会有物理贡献，之后我们会讨论这点。
因而，我们可以得到经典极限下的作用量为：
S\left[\phi=\phi_{J}, J\right] \rightarrow \frac{i}{2} \int d^{4} x d^{4} y J(x) \Delta_{\mathrm{F}}(x-y) J(y)=W[J].
之后我们会看如何把非线性效应包括其中。泛函W[J]是整个经典有效场论框架里最重要的量。

即使我们使用路径积分来定义Z[J]，后者只是通过将经典场方程的解重新带到作用量中得到的。不过尽管如此，保留泛函积分的形式及其各级矩，令其作为构建微扰展开的一种好用的手段，在之后的处理上会很有用。更具体的，利用下列恒等式：
\int d x_{1} \cdots d x_{n} \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i, j} x_{i} A_{i j} x_{j}+\sum_{i} J_{i} x_{i}\right)=\frac{(2 \pi)^{n / 2}}{\sqrt{\operatorname{det} A}} \exp \left(\frac{1}{2} \sum_{i, j} J_{i}\left(A^{-1}\right)_{i j} J_{j}\right) ,
只需要将里面出现的矩阵A视为4维Laplace算符，我们可以轻松得到之前推导的结果（阿祯的注记：此处Laplacian的逆代表的是4维Laplace方程的预解式。由于实际操作中会对4维Minkovski时空做Wick旋转，故而其实际对应的正是四维Klein-Gorden方程，也即4维标量波动方程的格林函数）。事实上，我们得到的所谓的“经典极限”并不只是极限下成立，而是严格正确的结论。而当具有自相互作用后，这一结论就只对经典极限成立了。

注意到我们可以利用泛函导数来得到传播子（并附加归一化条件Z[0]=1）
\Delta_{\mathrm{F}}(x-y)=-\left.i \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(x) \delta J(y)}\right|_{J=0}=\left.(-i)^{2} \frac{\delta^{2} Z[J]}{\delta J(x) \delta J(y)}\right|_{J=0} .
这一点在之后建立考虑非线性项后的微扰展开是非常有帮助的。